১। x+1/x = √2 হলে, x²+1/x² =? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৬ (মুক্তিযোদ্ধা)]
সমাধানঃ-
X²+1/x² = (x+1/x)² –2.x.1/x
=> (√2)²–2
=> 2–2
=> 0 (Ans)
২। x–1/x = 1 হলে, x³–1/x³ এর মান কত? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৬ (মুক্তিযোদ্ধা)]
সমাধানঃ-
x³–1/x³ = (x–1/x)³ + 3.x.1/x (x–1/x)
= (1)³ + 3.1
= 1+3
= 4 (Ans)
৩। a+b = 5 এবং a–b = 3 হলে ab এর মান কত? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৫]
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে, a+b = 5
a–b = 3
আমরা জানি,
4ab = (a+b)²–(a–b)²
= (5)²–(3)²
= 25–9
4ab = 16
.’. ab = 16/4
= 4 (Ans)
৪। a+b = 11, a–b = 7 হলে ab = কত? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৫]
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে, a+b = 11
a–b = 7
আমরা জানি,
4ab = (a+b)²–(a–b)²
= (11)²–(7)²
= 121–49
4ab = 72
.’.ab = 72/4
= 18 (Ans)
৫। 9a²+16b² রাশিটির সাথে কত যোগ করলে যোগফল পূর্ণ বর্গ হবে? [প্রধান শিক্ষক ২০১২ (ক্যামেলিয়া) সহকারী শিক্ষক ২০১১ (গোলাপ)]
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে, 9a²+16b²
= (3a)²+(4b)²+2.3a.4b–2.3a.4b
= (3a+4b)²–24ab
অর্থাৎ 24ab যোগ করতে হবে
৬। m এর মন কত হলে 4x²–mx+9 একটি পূর্ণ বর্গ হবে? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৪ (আলফা)]
সমাধানঃ-
4x²–mx+9
=4x²+9–mx
= (2x)²+(3)²–2.2x.3–mx+2.2x.3
= (2x–3)²+12x–mx
রাশিটি পূর্ণ বর্গ হবে যদি 12x–mx = 0
বা, 12x = mx
. ‘. m = 12 (Ans)
৭। a+b = 6 এবং ab = 8 হলে (a–b)² = কত? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৪ (বিটা) প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৪ (গামা)]
সমাধানঃ-
(a-b)² = (a+b)²–4ab
= (6)²–4.8 [মান বসিয়ে]
= 36–32
= 4 (Ans)
৮। যদি (x–5) (a+x) = x–25 হয়, তবে a এর মান কত? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক (ডেলটা,আলফা) ২০১৪]
সমাধানঃ-
(x–5) (a+x) = x²–25
বা,(x–5) (a+x) = x²–(5)²
বা,(x–5) (a+x) = (x+5) (x–5)
বা, a+x = x+5
বা, a = 5
.’. a এর মান = 5 (Ans)
৯। যদি a³–b³ = 513 এবং a–b = 3 হয়, তবে ab এর মান কত? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৩ (ভলগা)]
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে, a³–b³ = 513 এবং a–b = 3
.’. a³–b³ = 513
বা, (a–b)³+3ab (a–b) = 513
বা, (3)³+3ab×3 = 513
বা, 27+9ab = 513
বা, 9ab = 513–27
বা, 9ab = 486
.’. ab = 486/9
= 54 (Ans)
১০। a+b = c হলে, a³+b³+3abc = কত? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৩ (যমুন); সহকারী শিক্ষক (করতোয়া) ২০১০]
সমাধানঃ-
a³+b³+3abc
= (a+b)³–3ab (a+b)+3abc
= c³–3abc+3abc [মান বসিয়ে]
= c³ (Ans)
১১। a+b = 6, ab = 4 হলে, a³+b³ = কত? [প্রধান শিক্ষক ২০১২ (নাগলিঙ্গম)]
সমাধানঃ-
a³+b³ = (a+b)³–3ab (a+b)
= (6)³–3×4×6
= 216–72
= 144
[বিঃদ্রঃ- মূল প্রশ্নে সঠিক উত্তর ছিল না]
১২। a+b = 12, এবং ab = 35 হলে a²+b² এর মান কত? [প্রধান শিক্ষক ২০১২ (ড্যাফোডিল)]
সমাধানঃ-
প্রদত্ত রাশি, a²+b² = (a+b)²–2ab
= (12)²–2×35
= 144–70
= 74
১৩। a+b+c = 0 হলে, a³+b³+c³ এর মান কত? [সহকারী শিক্ষক ২০০৬ (ঢাকা বিভাগ); ১৯৯৮;১৯৯৫]
সমাধানঃ-
a³+b³+c³–3abc = (a+b+c) (a²+b²+c²-ab-bc-ca)
বা, a³+b³+c³–3abc = 0 (a+b+c = 0)
বা, a³+b³+c³ = 3abc
১৪। 4x²–28x এর সাথে কত যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্গ হবে? [প্রধান শিক্ষক ২০১২ (ক্রিসানথিমাম)]
সমাধানঃ-
4x²–28x
= (2x)²–2.2x.7+(7)²–49
= (2x–7)²–49
প্রদত্ত রাশির সাথে 49 যোগ করলে যোগফলটি পূর্ণ বর্গ হবে।
১৫। a–b = 4, ab = 3 হলে a³–b³ =? [সহকারী শিক্ষক ২০০৮ (দড়াটানা)]
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে,
a–b = 4
ab = 3
.’. a³–b³ = (a–b)³+3ab (a–b)
= (4)³+3×3×4
= 64+36
= 100
১৬। a–b = 3 হলে, a³–b³–9ab = কত? [সহকারী শিক্ষক ২০০৬ (সিলেট বিভাগ)]
সমাধানঃ-
দেওয়া আছে,
a–b = 3
বা, (a–b)³ = (3)³
বা, a³–b³–3ab (a–b) = 27
বা, a³–b³–3ab×3 = 27
.’. a³–b³–9ab = 27
১৭। (a+b) = 5, ab = 4 হলে, (a–b) এর মান কত?[রেজি. বেসরকারি সহকারী শিক্ষক ২০১১ (শাপলা)]
সমাধানঃ-
(a–b)² = (a+b)²–4ab
= (5)²–4×4
= 25–16
= 9
= ±3
[বিঃদ্রঃ- মূল প্রশ্নে সঠিক উত্তর ছিল না]
১৮। P-এর মান কত হলে, 4x²–px+9 একটি পূর্ণ বর্গ হবে? [রেজি. বেসরকারি সহকারী শিক্ষক ২০১১ (গোলাপ);সহকারী শিক্ষক ২০০৮ (মেঘনা)]
সমাধানঃ-
4x²–px+9
=4x²+9–px
= (2x)²+(3)²–2.2x.3 + 2.2x.3–px
= (2x–3)²+12x–px
প্রদত্ত রাশিটি পূর্ণ বর্গ হলে,
12x–px = 0
বা, 12–p = 0
.’.p = 12
১৯। 7p²–p–4 এর একটি উৎপাদক হবে– [প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৮]
[বিঃদ্রঃ- প্রশ্নে ভুল ছিল। 7p²–p–4 এর পরিবর্তে 7p²–p–8 হবে]
সমাধানঃ-
7p²–p–8 = 7p²–8p+7p–8
= 7p²+7p–8p–8
= 7p (p+1)–8(p+1)
= (p+1) (7p–8)
২০। (a–2b)³ এর মান কত? [প্রাক-প্রাথমিক সহকারী শিক্ষক ২০১৩ (রাইন); ২০১২ (মেঘনা)]
সমাধানঃ-
(a–2b)³
= a³–3.a².2b+3.a.(2b)²–(2b)³
= a³–6a²b+12ab²–8b³
=a³–8b³–6a²b+12ab²